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Una disequazione di secondo grado è una disequazione in cui compare il termine x², quindi ha una forma del tipo ax²+bx+c>0 oppure ax²+bx+c<0, con a≠0a 0a=0. A differenza delle equazioni, lo scopo non è trovare un valore preciso di x, ma tutti i valori per cui l’espressione assume un segno positivo o negativo. Per questo motivo la soluzione non è mai un numero isolato, ma un insieme di valori, che può essere rappresentato tramite intervalli sulla retta dei numeri. Questo tipo di disequazioni è molto utile perché permette di descrivere il comportamento di una funzione in diversi tratti.
Il primo passo per risolvere una disequazione di secondo grado consiste nel considerare l’espressione come se fosse un’equazione e trovare i valori di x per cui essa vale zero. In pratica si risolve l’equazione associata ax²+bx+c=0 utilizzando le formule risolutive o altri metodi già noti. Le soluzioni ottenute, se esistono, corrispondono ai punti in cui la parabola interseca l’asse orizzontale. Questi punti non rappresentano ancora la soluzione della disequazione, ma sono fondamentali perché dividono la retta dei numeri in diverse parti, all’interno delle quali l’espressione mantiene sempre lo stesso segno.
Una volta individuati questi intervalli, bisogna stabilire in quali di essi l’espressione è positiva e in quali è negativa, osservando la forma della parabola. Se il coefficiente aaa davanti a x² è positivo, la parabola è rivolta verso l’alto: in questo caso l’espressione è negativa tra le due soluzioni dell’equazione e positiva all’esterno. Se invece a è negativo, la parabola è rivolta verso il basso e la situazione si ribalta. A questo punto si confronta il risultato con la richiesta della disequazione: se si chiede “maggiore di zero” si scelgono gli intervalli in cui l’espressione è positiva, mentre se si chiede “minore di zero” si scelgono quelli negativi. Nel caso di “maggiore o uguale” o “minore o uguale”, si includono anche i punti in cui l’espressione vale zero, completando così l’insieme delle soluzioni.
